Правда ли что после 15 лет аренды земельный участок под строительство жилого дома переходит в частную собственность

Нет не верно. Речь видимо идет о ст.234 ГК РФ "Приобретательная давность", где речь идет о 15-летним владением недвижимостью. Дело в том, что данная статья применяется в том случае если отсутствует собственник и отсутствуют какие либо юридические взаимоотношения. В Вашем же случае есть собственник и имеет место юридические отношения (договор аренды), определяющие взаимные права и обязанности относительно земельного участка.