Как же правильно снять квартиру? и не попасть впросак?

Свидетельство о праве собственности арендодателя.
и не обращайтесь в сомнительные агентства недвижимости, берущие деньги по предоплате, а не по факту заселения

Здравствуйте. Вариант 1. В идеале воспользоваться услугами риэлтора.
Вариант 2. Договор подписывают все собственники квартиры, при подписании показывают Вам правоустанавливающие документы. У Вас остаются копии документов на квартиру.