Не проходите мимо подскажите пожалуйста, существуют ли сейчас какие-то агентства по обмену жилья? если не хочешь продавать

Если квартира в собственности, то продавать ее и покупать другую в др. городе.
возможна альтернативная сделка, когда одновременно продаешь свою и покупаешь другую.
тут надо поработать, чтобы найти альтернатив. вариант и согласовать по срокам сделки.
можно и договор мены (он по правилам сделок купли-продажи), когда в др. городе ищите собственника квартиры, желающего купить вашу квартиру и вам нравится его квартира,
и вы готовы ее купить, тогда можете заключить договор мены квартирами.
м. б. равноценный договор мены (без доплаты), а может и не равноценный ( с доплатой).