Может ли один из собственников квартиры, продать свою часть без согласия второго собственника?

1. да, может, соблюдая правила преимущественной покупки согласно ст.250 гк рф. 2. после продажи новый собственник (собственники) вполне может вселиться.

Здравствуйте. В соответствии со ст. 250 ГК.РФ. 1. При продаже доли в праве общей собственности постороннему лицу остальные участники долевой собственности имеют преимущественное право покупки продаваемой доли по цене, за которую она продается, и на прочих равных условиях, кроме случая продажи с публичных торгов.

2. Продавец доли обязан известить в письменной форме остальных участников долевой собственности о намерении продать свою долю постороннему лицу с указанием цены и других условий, на которых продает ее. Если остальные участники долевой собственности откажутся от покупки или не приобретут продаваемую долю в
праве собственности на недвижимое имущество в течение месяца, а в праве собственности на движимое имущество в течение десяти дней со дня извещения, продавец в праве продать свою долю любому лицу.

В Вашем случае лучше договориться с продавцом доли, и выкупить ее по цене которая устроит все стороны.
Либо продать квартиру целиком и разделить деньги согласно долям.
Это будет выгодно для всех сторон. Ваш отказ в получении уведомления с предложением выкупа доли в квартире, не является препятствием для ее дальнейшей продажи.