Если срок сдачи жилья менее 6 месяцев, обязан ли арендодатель платить налог? есть способы узнать платит ли вообще?

Никакого давления из-за уплаты-неуплаты налогов другим человеком вы не окажете - не ваше это дело, доказать с расписками должны вы, да и результат ничтожен. платить налоги мы обязаны на следующий год до 1 марта (или до 1 мая) - еще срок не подошел даже. .
судя по рассказу - вы сами не порядочны и мелочны: вы приняли имущество, должны ухаживать за ним - и сантехнику тоже (в договоре прописано, что она не в порядке?) .

договор регистрировать не надо - он действителен. а вот акт приемки-передачи подписать надо, чтоб потом не платить за все. при этом надо понимать, что позиция владельца заведомо выгоднее вашей - завтра перекроет дверь с вашими вещами и будет прав - а вы уже не войдете в квартиру - даже договора нет. но и в суд бежать за вами в другой город не очень выгодно - зависит от суммы иска - ищите разумный выход.